Introducao#

Notacao Posicional#

Cada posicao de um digito tem um valor diferente dentro de um número;
Em bases diferentes das de 10 (decimais), le-se dizendo numero por numero;
As bases mais comuns utilizadas na computacao sao base 2 (binarios), base 8 (octais) e base 16 (hexadecimais).
- Sistema decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
- Sistema binario: 0, 1;
- Sistema octal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
- Sistema hexadecimal : 0 ao 9 e A ao F.

Sistema Decimal (Base 10)#

Usamos o sistema decimal, tambem chamado de sistema de base 10, denotamos da seguinte maneira:

1
# Notation
2
S = 10^n + ... + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0
3

4
# Example
5
3785 (10) = 3 * 10^3 + 7 * 10^2 + 8 * 10^1 + 5 * 10^0

Sistema Binario (Base 2)#

Contem X possibilidades, onde X pode ser definido como:

1
// Num intervalo
2
// Assinadas: [-2^(8*x - 1) ... 2^(8*x - 1) - 1]
3
// Unsigneds: [0...2^(8*x) - 1]
4
x bytes = 2^(8 * x) bits
5

6
// Exemplo
7
1 byte = 2^(8 * 1) bits
8

9
[-2^(8*x - 1)...2^(8*x - 1) - 1]
10
[-2^(7)...2^(7) - 1] = [-128...127]
11
[0...2^(8*1)] = [0...255]

1
# Notation
2
S = 2^n + ... + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0
3

4
# Combinar
5
0, 1, 10, 11, 100, 101,
6
110, 111, 1000, 1001, 1010,
7
1011, 1100, 1101, 1110, 1111,
8
...

Conversao Binario (2) para Decimal (10)#

1
// Exemplo
2
1011 (2) = 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 11 (10)

Conversao Decimal (10) para Binario (2)#

Divida o numero decimal por 2 ate que nao seja mais possivel dividi-lo;
0’s a esquerda sao facultativos.

1
// EX1
2
13 =>
3
  13 / 2 = 6; 1 -> resto
4
  6  / 2 = 3; 0
5
  3  / 2 = 1; 1
6
  1  / 2 = 0; 1
7

8
Pegar a ordem inversa dos restos:
9
  13 (10) = 1101 (2)
10

11
// EX2
12
11,3 =>
13
  - Parte Inteira;
14
  P1) Pega a ordem inversa.
15
    11 / 2 = 5; 1
16
    5  / 2 = 2; 1
17
    2  / 2 = 1; 0
18
    1  / 2 = 0; 1
19

20
  - Parte Fracionaria;
21
  P2) Pega a ordem normal.
22
    0,3 * 2 = 0,6; 0
23
    0,6 * 2 = 1,2; 1
24
    0,2 * 2 = 0,4; 0
25
    0,4 * 2 = 0,8; 0
26
    0,8 * 2 = 1,6; 1
27
    0,6 * 2 = 1,2; 1
28
    ...
29

30
11,3 (10) = 1011.010011... (2)

Sistema Octal (Base 8)#

Conversao Octal (8) para Decimal (10)#

1
# Notation
2
S = 8^n + ... + 8^3 + 8^2 + 8^1 + 8^0
3

4
# Example
5
371 (8) = 3 * 8^2 + 7 * 8^1 + 1 * 8^0 = 249 (10)

Conversao Decimal (10) para Octal (8)#

Divida o numero decimal por 8 ate que nao seja mais possivel.

1
// EX1
2
177 =>
3
  177 / 8 = 22; 1
4
  22  / 8 = 2;  6
5
  2   / 8 = 0;  2
6

7
Pegar a ordem inversa dos restos:
8
  177 (10) = 261 (8)
9

10
// EX2
11
0,634 =>
12
  0,634 * 8 = 5,072; 5
13
  0,072 * 8 = 0,576; 0
14
  0,576 * 8 = 4,608; 4
15
  0,608 * 8 = 4,864; 4
16
  ...
17

18
Pegar os restos em ordem:
19
  0,634 (10) = 0,5044... (8)

Sistema Hexadecimal (Base 16)#

Conversao Hexadecimal (16) para Decimal (10)#

1
# Notation
2
S = 16^n + ... + 16^3 + 16^2 + 16^1 + 16^0
3

4
# Example
5
1FA (16) = 1 * 16^2 + 15 * 16^1 + 10 * 16^0 = 506 (10)

Conversao Decimal (10) para Hexadecimal (16)#

Divida o numero decimal por 16 ate que nao seja mais possivel,

1
// EX1
2
685 =>
3
  685 / 16 = 42; 13 = D
4
  42  / 16 = 2;  10 = A
5
  2   / 16 = 0;  2
6

7
1. Pegar a ordem inversa dos restos
8
2. Para os acima de 10, substitui-los por letras
9

10
// EX2
11
=> 685 (10) = 2AD (16)
12

13
178,6 =>
14
  1) 178 = B2
15
  2) 0,6 =>
16
    0,6 * 16 = 9,6; 9
17
    0,6 * 16 = 9,6; 9
18
    ...
19

20
=> 178,6 (10) = B2,9 (16)

Relacao entre Sistemas de Numeracao#

Na computacao nao usamos bases octais e hexadecimais a toa. Elas facilitam (e muito) quando vamos converter dados para binario;
O processo eh simples, basta splitarmos / agruparmos o valor e fazer a conversao.

Conversao Octal (8) para Binario (2)#

Cada digito do octal corresponde a 3 digitos do binário (pois 8 = 2^3). Assim, temos que dividir cada digito do octal em 3 partes.

1
27 (8):
2

3
2        7
4

5
0 1 0    1 1 1
6
_ _ _    _ _ _
7
4 2 1    4 2 1  => potencias da base 2 (..., 2^2, 2^1, 2^0)
8

9
Agora basta juntar tudo, dessa forma:
10

11
27 (8) = 010111 (2) ou 10111 (2)

Conversao Binario (2) para Octal (8)#

Dividir o numero binario em grupos de 3 de tras para frente.

1
1000101 (2):
2

3
0 0 1 | 0 0 0 | 1 0 1
4
_ _ _   _ _ _   _ _ _
5
4 2 1   4 2 1   4 2 1
6

7
1       0       5
8

9
Agora basta juntar os digitos:
10

11
1000101 (2) = 105 (8)

Conversao Hexadecimal (16) para Binario (2)#

Dividimos cada digito do “numero” hexadecimal em 4 partes (pois 16 = 2^4).

1
1B (16):
2

3
1          B = 11
4

5
0 0 0 1    1 0 1 1
6
_ _ _ _    _ _ _ _
7
8 4 2 1    8 4 2 1  => potencias da base 2 (..., 2^2, 2^1, 2^0)
8

9

10
Agora basta juntar tudo, dessa forma:
11

12
1B (16) = 11011 (2)

Conversão Binario (2) para Hexadecimal (16)#

Dividir o numero binario em agrupamentos de 4 de tras para frente.

1
1011101 (2) =>
2

3
0 1 0 1 | 1 1 0 1
4
_ _ _ _   _ _ _ _
5
8 4 2 1   8 4 2 1
6

7
5          13 = D
8

9
=> 1011101 (2) = 5D (16)

Conversao Octal (8) para Hexadecimal (16)#

Transforme em binario em grupos de tres;
Depois divida-os em grupos de quatro.

1
33 (8) =>
2

3
   3        3
4
 0 1 1    0 1 1
5
 _ _ _    _ _ _
6

7
0 0 0 1 | 1 0 1 1
8
|.|
9
 .-> 0's para fechar o grupo
10

11
Agora basta transformar em hexadecimal:
12

13
1 | B => 1B (16)

Conversao Hexadecimal (16) para Octal (8)#

Transforme em binario em grupos de quatro;
Divida-os em grupos de tres.

1
1B (16) =>
2

3
  1        B
4

5
0 0 0 1  1 0 1 1
6
_ _ _ _  _ _ _ _
7

8
0 0 0 | 0 1 1 | 0 1 1
9
|
10
|-> 0 para fechar o grupo
11

12
Agora basta transformar em octal:
13

14
0 | 3 | 3 => 33 (8)

Operacoes com Binarios#

Adição#

Regras:

1
1. 0 + 0 = 0
2
2. 0 + 1 = 1
3
3. 1 + 0 = 1
4
4. 1 + 1 => 10 (== 2 (10))
5
5. 1 + 1 + 1 => 11 (2) (== 3 (10))

Exemplo:

1
1101 (2) + 1111 (2) = 11100 (2)
2

3
+1+1+1+1
4
  1101
5
+ 1111
6
-------
7
11100

Subtracao#

Regras:

1
1. 1 - 0 = 1
2
2. 1 - 1 = 0
3
3. 0 - 0 = 0
4
4. 0 - 1 = 1 ("e pegar 1 emprestado da casa do lado")

Exemplo:

1
1110 (2) - 1011 (2) = 11 (2)
2

3
-1               -1 +1
4
1110             110(10) => 2
5
- 1011      =>   - 1011
6
-------          -------
7
          0011

Sinal Modulo / Magnitude#

O 1° digito (esquerda) representa o sinal do numerom 0 para positivo e 1 para negativo;
Igualar o numero de digitos;
Representar todos os numeros em quantidades iguais (ex: 8, 16, 32 bits);
Primeiro se converte o numero para binario e depois igualamos ele ao numero de bits sendo que o 1° numero ira representar o sinal (positivo ou negativo).

1
-> Representar o 21 (10) positivo e negativo
2

3
21 (10) = 10101 (2) = 00010101 (2)
4
                    |----> complemento para ter 8 bits
5

6
21 (10) = 10101 (2) = 10010101 (2)

Complemento de 1#

O complemento de 1 de um numero binario eh a inversao dos digitos (ou melhor dizendo, o complemento de um numero eh o quanto falta para que ele chegue no ultimo digito do sistema numerico).

1
Complemento de 1 do número 10001110 (2)
2

3
10001110 -> 01110001 (2)

Complemento de 2#

Consiste na utilizacao do complemento de 1, somando mais 1 a este complemento.

1
Complemento de 2 do numero 10001110
2

3
1°) Complemento de 1
4

5
10001110
6
-> 01110001
7

8
2°) Complemento de 2
9

10
01110001
11
+      1
12
----------
13
01110010

Realizando Subtração com Somas com o Complemento de 2#

Para isso, usamos o complemento de 2;
Esse recurso eh muito utilizado em circuitos da ULA;
Devemos igualar os numeros (ex.: usar o sinal-modulo de 8 bits);
Somar o 1° numero com o complemento de 2 do 2°.

1
Representar em sinal-modulo de 8 bits a operacao: 21 (10) - 14 (10)
2

3
1°) Transformar em Binario + Sinal Modulo de 8 bits
4

5
21 (10) = 10101 (2) -> 00010101 (2)
6
14 (10) =  1110 (2) -> 00001110 (2)
7

8
2°) Complemento no 2° numero
9

10
  2.1) Complemento de 1 do 2° numero [14 (10)]
11

12
  00001110
13
  -> 11110001
14

15
  2.2) Complemento de 2 do 2° numero [14 (10)]
16

17
  11110001
18
  +      1
19
  ----------
20
  11110010
21

22
3°) Soma do 1° numero com o complemento de 2 do 2°
23

24
  00010101
25
+ 11110010
26
------------
27
 100000111
28

29
Agora basta retirar esse 1° "1" da frente (pois sao apenas 8 bits).